Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-ax+b，a，b∈R．
（1）已知f（x）在區(qū)間（-∞，1）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（2）存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈[0，b]時(shí)，2≤f（x）≤6恒成立，求b的最大值及此時(shí)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用對(duì)稱軸和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系，即可求a的取值范圍；
（2）根據(jù)不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的最值即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)的對(duì)稱軸為x=

a

2

，
∴要使f（x）在區(qū)間（-∞，1）上單調(diào)遞減，則滿足對(duì)稱軸x=

a

2

≥1，即a≥2．
（2）∵當(dāng)x∈[0，b]時(shí)，2≤f（x）≤6恒成立，
∴b＞0，
①若a≤0，則

a

2

≤1，此時(shí)f（x）在[0，b]上單調(diào)遞增，
∴

f(x)min=f(0)≥2 f(x) max=f(b)≤6

，即

b≥2 b2-ab+b≤6

，
由b²-ab+b≤6得a≥b-

6

b

+1≥2-

6

2

+1=0，
∴a=0，此時(shí)

b≥2 b2+b≤6

，
解得

a=0 b=2

．
②若0＜

a

2

＜

b

2

，即0＜a＜b，此時(shí)

f(x)min=f( a 2 )≥2 f(x)max=f(b)≤6

，
即

b- a2 4 ≥2 b2-ab+b≤6 0＜a＜b

，∴

b≥ a2 4 +2 a≥b- 6 b +1 0＜a＜b

，即

b≥2 b- 6 b +1＜b

，
∴2＜b＜6，
又b-

a2

4

≥2，則a≤2

b-2

，
∴b-

6

b

+1≤2

b-2

，
令h（x）=x-

6

x

+1，g（x）=2

x-2

，
∴h（2）=g（2）=0，h（3）=g（3）=2，且h（x）與g（x）均在（2，6）上單調(diào)遞增，
當(dāng)2＜x＜3時(shí)，h（x）的圖象在g（x）圖象的下方，即此時(shí)h（x）＜g（x），
∴不等式b-

6

b

+1≤2

b-2

的解為2＜b≤3，
當(dāng)b=3時(shí)，

3- a2 4 ≥2 32-3a+3≤6 0＜a＜3

，即

a≤2 a≥2 0＜a＜3

，解得a=2．
③若0＜

a

2

=

b

2

，即0＜a=b，此時(shí)

f(x)min=f( a 2 )≥2 f(x)max=f(0)≤6

，
即

b- a2 4 ≥2 b≤6 0＜a＜3

，此時(shí)不等式無解．
④若0＜

b

2

＜

a

2

＜b，即0＜b＜a＜2b，此時(shí)

f(x)min=f( a 2 )≥2 f(x)max=f(0)≤6

，即

b- a2 4 ≥2 b≤6

，

即

b≥ a2 4 +2 b≤6 b＜a

，∴

a2

4

+2＜a，a²-4a+8＜0此時(shí)不等式無解．
⑤若

a

2

≥b，即a≥2b，此時(shí)f（x）在[0，b]上單調(diào)遞減，
∴

f(x)min=f(b)≥2 f(x)max=f(0)≤6

，即

b2-ab+b≥2 b≤6 a≥2b

，即

a≤b- 2 b +1 b≤6 a≥2b

，
∴2b≤b-

2

b

+1，
即b+

2

b

≤1，而當(dāng)b＞0時(shí)，b+

2

b

≥2

2

＞1，∴此時(shí)不等式無解．
綜上b的取值范圍是[2，3]，b的最大值是3，此時(shí)a=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，難度不小．