Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)．
（1）設(shè)橢圓C上點(diǎn)（

3

，

3

2

）到兩點(diǎn)F₁、F₂距離和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段KF₁的中點(diǎn)B的軌跡方程；
（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為k_PM，k_PN，試探究k_PM•K_PN的值是否與點(diǎn)P及直線L有關(guān)，不必證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓C上點(diǎn)（

3

，

3

2

）到兩點(diǎn)F₁、F₂距離和等于4，建立方程，求出a，b，即可寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）確定KF₁的中點(diǎn)B（x，y），與點(diǎn)K坐標(biāo)之間的關(guān)系，把K的坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求線段KF₁的中點(diǎn)B的軌跡方程；
（3）設(shè)出M，N，P的坐標(biāo)，代入方程，由兩點(diǎn)式寫出PM與PN所在直線的斜率，作積后把點(diǎn)的縱坐標(biāo)用橫坐標(biāo)表示，整理后可得要證明的結(jié)論．

解答： 解：（1）∵橢圓C上點(diǎn)（

3

，

3

2

）到兩點(diǎn)F₁、F₂距離和等于4，
∴

( 3 )2

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1；2a=4，（2分）
∴a=2，b=

3

，
∴c=

a2-b2

=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0）（4分）
（2）設(shè)KF₁的中點(diǎn)為B（x，y），則點(diǎn)K（2x+1，2y）（5分）
把K的坐標(biāo)代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中得(2x+1)24+

(2y)2

3

=1；（7分）
線段KF₁的中點(diǎn)B的軌跡方程為(x+

1

2

)2+

y2

3 4

=1；（8分）
（3）過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)M（x₀，y₀）N（-x₀，-y₀），P（x，y），
M，N，P在橢圓上，應(yīng)滿足橢圓方程，得

x02

a2

+

y02

b2

=1，

x2

a2

+

y2

b2

=1；（10分）
∴K_PM•K_PN=

y-y0

x-x0

•

y+y0

x+x0

=

y2-y02

x2-x02

=-

b2

a2

（13分）
故：k_PM•K_PN的值與點(diǎn)P的位置無關(guān)，同時(shí)與直線L無關(guān)，（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了代入法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是壓軸題．