Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，P（x₀，y₀）是橢圓C：

x2

6

+

y2

2

=1上任意一點，F(xiàn)是橢圓C的左焦點，直線l的方程為x₀x+3y₀y-6=0．
（1）求證：直線l與橢圓C有唯一公共點；
（2）設(shè)點Q與點F關(guān)于直線l對稱，當(dāng)點P在橢圓上運動時，判斷直線PQ是否過定點，若直線PQ過定點，求出此定點的坐標(biāo)；若直線PQ不過定點，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）聯(lián)立方程組，證明原方程組有只有一組解，即可得出結(jié)論；
（2）求出過點F且與直線l垂直的直線方程與直線l的方程聯(lián)立，求出Q的坐標(biāo)，分類討論，求出直線PQ的方程，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：聯(lián)立方程組

x2 6 + y2 2 =1 x0x+3y0y-6=0

，消去y得：(x02+3y02)x2-12x0x+36-18y02=0，
又

x02

6

+

y02

2

=1得3y02=6-x02，代入得：x2-2x0x+x02=0，
因為：△=4x02-4x02=0，所以原方程組有只有一組解，
所以直線l與橢圓C有唯一公共點；
（2）解：點F的坐標(biāo)為（-2，0），過點F且與直線l垂直的直線方程為3y₀x-x₀y+6y₀=0，
解方程組

x0x+3y0-6=0 3y0x-x0y+6y0=0

得

x= 6x0-18y02 x02+9y02 = 3x0-6 3-x0 y= 18y0+6x0y0 x02+9y02 = 3y0 3-x0

，
所以點Q的坐標(biāo)是(

4x0-6

3-x0

，

6y0

3-x0

)，
當(dāng)x₀≠2時，kPQ=

y0

x0-2

，所以直線PQ的方程為y-y0=

y0

x0-2

(x-x0)，
即（x-2）y₀-yx₀+2y=0，過定點M（2，0）．
當(dāng)x₀=2時，y0=±

6

3

，此時點Q的坐標(biāo)為(2，±2

6

)，直線PQ過定點M（2，0），
綜上：直線PQ過定點M（2，0）．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切問題轉(zhuǎn)化為原方程組有只有一組解，考查直線過定點問題，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．