Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），恒有f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）．并依據(jù)此結(jié)論，寫出一般性結(jié)論，不需要證明；
（3）已知不等式ln（1+x）＜x在x＞-1且x≠0時恒成立，求證：

1

22

ln2²+

1

32

ln3²+L+

1

(n+1)2

ln（n+1）²＞

n

2(n+1)(n+2)

（n∈N^*）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,抽象函數(shù)及其應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，即可證明：對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），恒有f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）．
（3）構(gòu)造函數(shù)h（x）=

x

2(x+1)(x+2)

，x＞1，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可證明不等式．

解答： 解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=1+lnx，
令f′（x）=1+lnx=0有x=

1

e

，
∴當0＜x＜

1

e

時f′（x）＜0；x＞

1

e

時f′（x）＞0；
因此f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，

1

e

），單調(diào)增區(qū)間為（

1

e

，+∞）．
（2）設(shè)g（x）=

f(x)

x

=lnx，
∵g′（x）=

1

x

＞0；
∴g（x）在（0，+∞），上為單調(diào)增函數(shù)，
則對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），有

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x1)

x1

，

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x2)

x2

，
∴f(x1)+f(x2)＜

x1

x1+x2

?f(x1+x2)+

x2

x1+x2

?f(x1+x2)=f(x1+x2)，
一般性結(jié)論：
已知f（x）是在（0，+∞），上每一點處導數(shù)均存在的函數(shù)，若對任意的x＞0有xf′（x）＞f（x），那么對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），恒有f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）成立．
（3）構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可證
設(shè)函數(shù)h（x）=

x

2(x+1)(x+2)

，x＞1，
則h′(x)=

1-x2

2(x+1)2(x+2)2

＜0，
即h（x）在（1，+∞）單調(diào)減，h（x）≤h（1），
∴

n

2(n+1)(n+2)

≤

1

2×2×3

，
又

1

22

ln22-

1

2×2×3

=

1

12

(ln64-1)＞0，
即

1

22

ln22+

1

32

ln33+…+

1

(n+1)2

ln(n+1)2≥

1

22

ln22＞

1

2×2×3

≥

n

2(n+1)(n+2)

，
∴：

1

22

ln2²+

1

32

ln3²+L+

1

(n+1)2

ln（n+1）²＞

n

2(n+1)(n+2)

（n∈N^*）．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系，以及利用導數(shù)證明不等式，綜合性較強，運算量較大，難度較大．