Question

在△ABC中，∠BAC=90°，以AB為一邊向△ABC外作等邊△ABD，若∠BCD=2∠ACD，

AD

=λ

AB

+μ

AC

，則λ+μ=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義

專題：解三角形

分析：作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為D′，且DD′交AC于點(diǎn)E，設(shè)∠DCA=θ，根據(jù)∠BCD=2∠ACD得∠BCD=2θ，∠CD′D=90°-θ，∠CBD=150°-3θ，在△DCD′，△BCD中利用正弦定理得sin（150°-3θ）=sin（90°-θ），解得θ=15°，所以AC=AB=m，從而得出λ=

DE

AB

=

1

2

，μ=-

AE

AC

=-

3

2

．

解答： 解：如圖，設(shè)點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為D′，且DD′交AC于點(diǎn)E．
設(shè)∠DCA=θ，則∠BCD=2θ，∠CD′D=90°-θ，∠CBD=150°-3θ，
在△DCD′，△BCD中利用正弦定理得

CD

sin(150°-3θ)

=

BD

sin2θ

=

DD′

sin2θ

=

CD

sin(90°-θ)

即sin（150°-3θ）=sin（90°-θ），
∴150°-3θ=90°-θ或150°-3θ+90°-θ=180°
即θ=15°．
∴∠ACB=∠ABC=45°
∴AC=AB=m，
∴AE=

3

2

m，DE=

1

2

m，
∵

AD

=λ

AB

+μ

AC

=

AE

+

ED

，
顯然λ=

DE

AB

=

1

2

，μ=-

AE

AC

=-

3

2

，
∴λ+μ=

1- 3

2

．
故答案為：

1

2

-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理的靈活應(yīng)用，以及向量加法和數(shù)乘運(yùn)算，屬于中檔題．