Question

6．若（2x+$\frac{1}{x}$）ⁿ展開式中含$\frac{1}{{x}^{2}}$項(xiàng)的系數(shù)與含$\frac{1}{{x}^{4}}$項(xiàng)的系數(shù)之比為5，則n=（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 10

Answer 1

分析 根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式T_r+1，求出展開式中含$\frac{1}{{x}^{2}}$項(xiàng)的系數(shù)與展開式中含$\frac{1}{{x}^{4}}$項(xiàng)的系數(shù)，再列出方程，求出n的值．

解答 解：∵（2x+$\frac{1}{x}$）ⁿ展開式的通項(xiàng)公式為：T_r+1=${c}_{n}^{r}$•（2x）^n-r•（$\frac{1}{x}$）^r=${c}_{n}^{r}$•2^n-r•x^n-2r，
令n-2r=-2，解得：r=$\frac{n}{2}$+1，即展開式中$\frac{1}{{x}^{2}}$項(xiàng)的系數(shù)為${c}_{n}^{\frac{n}{2}+1}$•2^{$\frac{n}{2}$-2}，
令n-2r=-4，解得：r=$\frac{n}{2}$+2，即展開式中$\frac{1}{{x}^{4}}$項(xiàng)的系數(shù)為${c}_{n}^{\frac{n}{2}+2}$•2^{$\frac{n}{2}$-4}，
根據(jù)系數(shù)之和為5，得到${c}_{n}^{\frac{n}{2}+1}$•2^{$\frac{n}{2}$-2}：${c}_{n}^{\frac{n}{2}+2}$•2^{$\frac{n}{2}$-4}=5，
解得：n=6，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，熟練掌握二項(xiàng)式通項(xiàng)公式是解本題的關(guān)鍵．