Question

A，B是橢圓的右頂點(diǎn)及上頂點(diǎn)，由橢圓弧

x2

4

+y²=1（x≥0，y≥0）及線段AB構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣�，P是區(qū)域Ω上的任意一點(diǎn)（包括邊界），設(shè)

OP

=λ

OA

+μ

OB

，則動(dòng)點(diǎn)M（λ，μ）所形成區(qū)域Ω′的面積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：先將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出來(lái)，代入

OP

=λ

OA

+μ

OB

，用μ、λ將P點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái)，再根據(jù)P在區(qū)域Ω內(nèi)，構(gòu)造出關(guān)于λ、μ的不等式組，化簡(jiǎn)后根據(jù)不等式的幾何意義做出點(diǎn)M（λ，μ）的圖象，再求其面積．

解答： 解：由橢圓弧

x2

4

+y²=1（x≥0，y≥0）得A（2，0），B（0，1），
∴直線AB方程為

x

2

+y=1，
且

OP

=λ

OA

+μ

OB

=λ（2，0）+μ（0，1）=（2λ，μ），
又∵P是區(qū)域Ω上的任意一點(diǎn)（包括邊界），
∴

2λ 2 +μ≥1 (2λ)2 4 +μ2≤1 λ＞0，μ＞0

，化簡(jiǎn)得

λ+μ≥1 λ2+μ2≤1 λ，μ＞0

，
∴M點(diǎn)所在區(qū)域是由直線λ+μ=1，圓λ²+μ²=1，以及兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的弓形部分，
∴S=

π

4

×12-

1

2

×1×1=

π

4

-

1

2

．
故答案為

π

4

-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)類似于“線性規(guī)劃”的問(wèn)題，思路是先根據(jù)題意找到點(diǎn)M（λ，μ）的橫縱坐標(biāo)所滿足的條件，再結(jié)合其幾何意義畫(huà)出圖象后，利用公式求出面積．