Question

已知函數(shù)f（x）=

5 3 x- 2 3 ，x∈( 1 2 ，1] - 1 3 x+ 1 6 ，x∈[0， 1 2 ]

，函數(shù)g（x）=asin（

π

6

x）-2a+2（a＞0），若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,集合

分析：求出兩個函數(shù)的值域A，B，若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則表示A∩B不是空集，進(jìn)而得到實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)x∈[0，

1

2

]時，f（x）=-

1

3

x+

1

6

∈[0，

1

6

]
當(dāng)x∈（

1

2

，1]時，f（x）=

5

3

x-

2

3

∈（

1

6

，1]
故當(dāng)x₁∈[0，1]，f（x₁）∈[0，1]，
又∵函數(shù)g（x）=asin（

π

6

x）-2a+2（a＞0）在[0，1]上為增函數(shù)，
∴g（x）=asin（

π

6

x）-2a+2∈[g（0），g（1）]=[-2a+2，-

3

2

a+2]，
若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
則[-2a+2，-

3

2

a+2]∩[0，1]≠∅，
即0≤-

3

2

a+2≤1，或0≤-2a+2≤1，
解得：a∈[

2

3

，

4

3

]∪[

1

2

，1]=[

1

2

，

4

3

]，
故實數(shù)a的取值范圍是：[

1

2

，

4

3

]，
故答案為：[

1

2

，

4

3

]

點評：本題考查的知識點是方程的根，存在性問題，集合關(guān)系的判斷，其中將已知轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的值域A，B的有公共元素，是解答的關(guān)鍵．