Question

19．實(shí)系數(shù)方程x²+ax+2b=0的-個(gè)根在（0，1）內(nèi)，另一個(gè)根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求：
（1）$\frac{b-2}{a-1}$的取值范圍；
（2）（a-1）²+（b-1）²的取值范圍；
（3）a+b-3的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=x²+ax+2b，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{1+a+2b＜0}\\{2+a+b＞0}\end{array}\right.$，從而利用線性規(guī)劃求解即可；
（1）$\frac{b-2}{a-1}$的值是點(diǎn)A（1，2）與點(diǎn)（a，b）的斜率，
（2））（a-1）²+（b-1）²的幾何意義是點(diǎn)B（1，1）與平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的距離的平方，
（3）結(jié)合圖象可知，-2+0-3＜a+b-3＜-1+0-3．

解答 解：設(shè)f（x）=x²+ax+2b，
∵實(shí)系數(shù)方程x²+ax+2b=0的-個(gè)根在（0，1）內(nèi)，另一個(gè)根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=2b＞0}\\{f（1）=1+a+2b＜0}\\{f（2）=4+2a+2b＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{1+a+2b＜0}\\{2+a+b＞0}\end{array}\right.$，
作圖象如下，

（1）$\frac{b-2}{a-1}$的值是點(diǎn)A（1，2）與點(diǎn)（a，b）的斜率，
k_AD=$\frac{2-1}{1+3}$=$\frac{1}{4}$，k_AC=$\frac{2-0}{1+1}$=1；
故$\frac{1}{4}$＜$\frac{b-2}{a-1}$＜1；
（2））（a-1）²+（b-1）²的幾何意義是點(diǎn)B（1，1）與平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的距離的平方，
由圖可知，|BC|²=（-1-1）²+（0-1）²=5，|BD|²=（-3-1）²+（1-1）²=16，
故5＜（a-1）²+（b-1）²＜16；
（3）結(jié)合圖象可知，
-2+0-3＜a+b-3＜-1+0-3，
即-5＜a+b-3＜-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用．