Question

15．如圖，已知ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，EA⊥平面ABCD，F(xiàn)C∥EA，設(shè)EA=1，F(xiàn)C=2．
（1）證明：EF⊥BD；
（2）求四面體BDEF的體積；
（3）求點(diǎn)B到平面DEF的距離．

Answer 1

分析 （1）證明EA⊥BD，然后證明BD⊥平面EACF，從而證明EF⊥BD．
（2）四面體BDEF的體積：V=2V_B-ACFE-V_E-ABD-V_F-BCD求解即可．
（3）由余弦定理求出cos∠EDF，得到sin∠EDF，點(diǎn)B到平面DEF的距離為h，由體積法求解即可．

解答 解：（1）證明：由已知，ABCD是正方形，所以對(duì)角線BD⊥AC，
因?yàn)镋A⊥平面ABCD，所以EA⊥BD，
因?yàn)镋A，AC相交，所以BD⊥平面EACF，從而EF⊥BD．
（2）四面體SDEF的體積：V=2V_B-ACFE-V_E-ABD-V_F-BCD
=2$（\frac{1}{3}{S}_{ACFE}•\frac{1}{2}BD）$-$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•EA$$-\frac{1}{3}{S}_{△DBC}•FC$
=2$（\frac{1}{3}×\frac{1+2}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}）$$-\frac{1}{3}×2×1-\frac{1}{3}×2×2=2$，
所以四面體BDEF的體積為2．
（3）先求△DEF的三條邊長(zhǎng)，DE=$\sqrt{{EA}^{2}+{AD}^{2}}$=$\sqrt{5}$，DF=$\sqrt{{FC}^{2}+{CD}^{2}}$=$2\sqrt{2}$，
在直角梯形ACFE中易求出EF=3，
由余弦定理知cos∠EDF=$\frac{5+8-9}{2×\sqrt{5}×2\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{\sqrt{10}}$，所以sin∠EDF=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，
S_△EDF=$\frac{1}{2}•DE•DF•sin∠EDF$=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{2}×\frac{3}{\sqrt{10}}$=3；
點(diǎn)B到平面DEF的距離為h，由體積法知：
${V}_{BDEF}=\frac{1}{3}{S}_{△EDF}•h=\frac{1}{3}×3×h=2$，解得h=2，所以點(diǎn)B到平面DEF的距離為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積的求法與應(yīng)用，直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．