Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）d的離心率為

2

2

，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F₁、F₂為頂點的三角形的周長為4（

2

+1）．一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
（1）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在常熟λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓錐曲線的綜合

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意知，橢圓離心率及橢圓的定義，根據(jù)以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F₁、F₂為頂點的三角形的周長為4（

2

+1），可求得橢圓的方程，等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點可求得該雙曲線的方程；
（2）設(shè)點P（x₀，y₀），根據(jù)斜率公式，求得直線PF₁、PF₂的斜率乘積為1，設(shè)直線AB的方程，可求出直線CD的方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達(dá)定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，求得λ的值．

解答： 解：（1）由題意知，橢圓離心率為

c

a

=

2

2

，得a=

2

c，
因為2a+2c=4(

2

+1)，所以可解得2

2

，c=2，所以b²=a²-c²=4，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

8

+

y2

4

=1，
所以橢圓的焦點坐標(biāo)為（±2，0），
因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，
所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

-

y2

4

=1；
（2）設(shè)點P（x₀，y₀），直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，則k₁•k₂=

y0

x0+2

•

y0

x0-2

=

y02

x02-4

=1，
假設(shè)存在常數(shù)λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，
則設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），直線CD的方程為y=

1

k

（x-2），
y=k（x+2）代入橢圓方程消y得：（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由韋達(dá)定理得x1+x2=-

8k2

2k2+1

，x1x2=

8k2-8

2k2+1

∴|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 2 (1+k2)

2k2+1

，
同理可得|CD|=

4 2 (1+k2)

k2+2

．
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ=

1

|AB|

+

1

|CD|

=

3(k2+1)

4 2 (k2+1)

=

3 2

8

，
∴存在常數(shù)λ=

3 2

8

，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．

點評：本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力，有一定的難度．