Question

已知圓A過(guò)點(diǎn)P(

2

，

2

)，且與圓B：（x+2）²+（y-2）²=r²（r＞0）關(guān)于直線x-y+2=0對(duì)稱．
（1）求圓A的方程；
（2）若HE、HF是圓A的兩條切線，E、F是切點(diǎn)，求

HE

•

HF

的最小值．
（3）過(guò)平面上一點(diǎn)Q（x₀，y₀）向圓A和圓B各引一條切線，切點(diǎn)分別為C、D，設(shè)

|QD|

|QC|

=2，求證：平面上存在一定點(diǎn)M使得Q到M的距離為定值，并求出該定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓與圓B：（x+2）²+（y-2）²=r²（r＞0）關(guān)于直線x-y+2=0對(duì)稱，求出圓心坐標(biāo)，再代入P的坐標(biāo)，即可得出圓A的方程；
（2）設(shè)∠EHF=2θ，|

HA

|=t，利用向量的數(shù)量積公式表示出

HE

•

HF

，再利用基本不等式，可求

HE

•

HF

的最小值．
（3）利用

|QD|

|QC|

=2，確定Q（x₀，y₀）的軌跡方程，結(jié)合距離公式可得結(jié)論．

解答： （1）解：設(shè)圓A的圓心A（a，b），由題意得：

b-2 a+2 •1=-1 a-2 2 - b+2 2 +2=0

解得

a=0 b=0

，
設(shè)圓A的方程為x²+y²=r²，將點(diǎn)P(

2

，

2

)代入得r=2，
∴圓A的方程為：x²+y²=4；
（2）解：設(shè)∠EHF=2θ，|

HA

|=t，
則

HE

•

HF

=|

HE

||

HF

|cos2θ=|

HF

|2cos2θ=(|

HA

|2-4)(1-2sin2θ)=(t2-4)(1-2•

4

t2

)=t2+

32

t2

-12≥8

2

-12
當(dāng)且僅當(dāng)t2=

32

t2

即t=

4	32

時(shí)取等號(hào)，
∴

HE

•

HF

的最小值為8

2

-12；
（3）由（1）得圓A的方程為：x²+y²=4，圓B：（x+2）²+（y-2）²=4，
由題設(shè)得|QD|=2|QC|，即

QB2-4

=2

QA2-4

，
∴(x0+2)2+(y0-2)2-4=4(

x

2 0

+

y

2 0

-4)，
化簡(jiǎn)得：3

x

2 0

+3

y

2 0

-4x0+4y0-20=0，
∴(x0-

2

3

)2+(y0+

2

3

)2=

68

9

，
∴存在定點(diǎn)M（

2

3

，-

2

3

）使得Q到M的距離為定值

2 17

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查向量的數(shù)量積公式，考查軌跡方程，考查學(xué)分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．