Question

四棱錐P-ABCD底面是平行四邊形，面PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=

1

2

AD，∠BAD=60°，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAB；
（2）求二面角D-PA-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取PB中點(diǎn)G，連結(jié)FG，AG，證明FG和AE平行且相等，AEFG為平行四邊形，可得EF∥AG．再利用直線和平面平行的判定定理證得EF∥平面PAB．
（2）取PA的中點(diǎn)N，連接BN，DN，∠ANB=θ是二面角D-PA-B的平面角，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：取PB中點(diǎn)G，連結(jié)FG，AG，
∴FG平行且等于

1

2

BC，AE平行且等于

1

2

BC，
∴FG和AE平行且相等，
∴AEFG為平行四邊形，
∴EF∥AG．
∵AG?平面PAB，而EF不在平面PAB內(nèi)，
∴EF∥平面PAB．-------（6分）
（2）解：取PA的中點(diǎn)N，連接BN，DN---（8分）
∵△PAB是等邊三角形，∴BN⊥PA，
∵Rt△PBD≌Rt△ABD，∴PD=AD，∴AN⊥PB，
設(shè)∠ANB=θ是二面角D-PA-B的平面角--（10分）
∴BD⊥面PAB，BD⊥BN，
在Rt△DBN中，BD=

3

AB=2BN，-------------（12分）
tanθ=

BD

BN

=2，cosθ=

5

5

，
∴二面角D-PA-B的余弦值為：

5

5

---------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，直線和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．