Question

函數(shù)y=log_ax+1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny-1=0上，其中mn＞0，則

2

m

+

1

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用log_a1=0，可得函數(shù)y=log_ax+1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A（1，1），利用點(diǎn)A在直線mx+ny-1=0上，可得m+n=1，再利用“乘1法”和基本不等式即可得出

2

m

+

1

n

的最小值．

解答： 解：由函數(shù)y=log_ax+1（a＞0，a≠1），令x=1，可得y=1．
∴此函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)A（1，1），
∵點(diǎn)A在直線mx+ny-1=0上，∴m+n=1．
∵mn＞0，∴

2

m

+

1

n

=（m+n）(

2

m

+

1

n

)=3+

2n

m

+

m

n

≥3+2

2n m • m n

=3+2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)m=

2

n=2-

2

．
故

2

m

+

1

n

的最小值為 3+2

2

．
故答案為：3+2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、點(diǎn)與直線的關(guān)系、“乘1法”和基本不等式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．