Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+

ax

x+1

（a∈R）
（Ⅰ）當a=2時，求函數(shù)y=f（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅲ）求證：ln（1+

1

n

）＞

1

n

-

1

n2

（n∈N^*）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，求出切線的斜率，再求出切點的坐標，即可得出函數(shù)y=f（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）求導函數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當a=-1時，f（x）=ln（x+1）-

x

x+1

在（0，+∞）上單調遞增．當x＞0時，f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞

x

x+1

． 再令x=

1

n

，則ln（1+

1

n

）＞

1 n

1 n +1

=

1

n+1

，利用

1

n

-

1

n+1

＜

1

n2

，即可的證．

解答： （Ⅰ）解：當a=2時，f（x）=ln（x+1）+

2x

x+1

，
∴f′（x）=

x+3

(x+1)2

，（1分）
∴f′（0）=3，∴所求的切線的斜率為3．（2分）
又∵f（0）=0，∴切點為（0，0）．（3分）
故所求的切線方程為：y=3x．（4分）
（Ⅱ）解：∵f（x）=ln（x+1）+

ax

x+1

（x＞-1），
∴f′（x）=

x+1+a

(x+1)2

．  （6分）
①當a≥0時，∵x＞-1，∴f′（x）＞0；  （7分）
②當a＜0時，
由

f′(x)＜0 x＞-1

，得-1＜x＜-1-a；由

f′(x)＞0 x＞-1

，得x＞-1-a；  （8分）
綜上，當a≥0時，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）單調遞增；
當a＜0時，函數(shù)f（x）在（-1，-1-a）單調遞減，在（-1-a，+∞）上單調遞增．（9分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）可知，當a=-1時，f（x）=ln（x+1）-

x

x+1

在（0，+∞）上單調遞增．  （10分）
∴當x＞0時，f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞

x

x+1

．  （11分）
令x=

1

n

，則ln（1+

1

n

）＞

1 n

1 n +1

=

1

n+1

．  （12分）
另一方面，∵

1

n(n+1)

＜

1

n2

，即

1

n

-

1

n+1

＜

1

n2

，
∴

1

n+1

＞

1

n

-

1

n2

，（13分）
∴l(xiāng)n（1+

1

n

）＞

1

n

-

1

n2

（n∈N^*）（14分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調性，考查不等式的證明，正確運用導數(shù)是關鍵．