Question

已知函數(shù)f(x)=

9x

1+ax2

(a＞0)．
（1）求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值；
（2）若直線y=-x+2a為曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（3）當a=2時，設(shè)x1，x2，…，x14∈[

1

2

，2]，且x₁+x₂+…+x₁₄=14，若不等式f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₁₄）≤λ恒成立，求實數(shù)λ的最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)恒成立問題,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求f'（x），令f'（x）=0，可得極值點，分極值點在區(qū)間[

1

2

，2]內(nèi)、外進行討論可得函數(shù)的最大值；
（2）設(shè)切點為（t，f（t）），則

f′(t)=-1 f(t)=-t+2a.

，解出方程組可求；
（3）f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₁₄）≤λ恒成立，等價于f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₁₄）的最大值小于等于λ．a(chǎn)=2時可得f（x），且由（2）知y=4-x為其切線，先由圖象分析然后可證明f（x）≤4-x，由此對f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₁₄）放大，f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₁₄）≤4×14-（x₁+x₂+…+x₁₄）=56-14=42，從而可求最大值，注意檢驗等號取得條件．

解答： 解：（1）f′(x)=

9[1•(1+ax2)-x•2ax]

(1+ax2)2

=

9(1-ax2)

(1+ax2)2

，
令f'（x）=0，解得x=±

a

a

（負值舍去），由

1

2

＜

a

a

＜2，解得

1

4

＜a＜4．
（�。┊�0＜a≤

1

4

時，得f'（x）≥0，∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值為f(2)=

18

4a+1

．
（ⅱ）當a≥4時，由x∈[

1

2

，2]，得f'（x）≤0，∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值為f（

1

2

）=

18

4+a

．
（ⅲ）當

1

4

＜a＜4時，∵在

1

2

＜x＜

a

a

時，f'（x）＞0，在

a

a

＜x＜2時，f'（x）＜0，
∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值為f（

a

a

）=

9 a

2a

．
（2）設(shè)切點為（t，f（t）），則

f′(t)=-1 f(t)=-t+2a.

，
由f'（t）=-1，有

9(1-at2)

(1+at2)2

=-1，化簡得a²t⁴-7at²+10=0，即at²=2或at²=5，①
由f（t）=-t+2a，有

9t

1+at2

=2a-t，②
由①、②解得a=2或a=

5 3 4

4

．
（3）當a=2時，f（x）=

9x

1+2x2

，
由（2）的結(jié)論直線y=4-x為曲線y=f（x）的切線，
∵f（2）=2，∴點（2，f（2））在直線y=4-x上，
根據(jù)圖象分析，曲線y=f（x）在直線y=4-x下方．
下面給出證明：當x∈[

1

2

，2]時，f（x）≤4-x．
∵f（x）-（4-x）=

9x

1+2x2

-4+x=

2x3-8x2+10x-4

1+2x2

=

2(x-1)2(x-2)

1+2x2

，
∴當x∈[

1

2

，2]時，f（x）-（4-x）≤0，即f（x）≤4-x．
∴f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₁₄）≤4×14-（x₁+x₂+…+x₁₄），
∵x₁+x₂+…+x₁₄=14，∴f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₁₄）≤56-14=42．
∴要使不等式f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₁₄）≤λ恒成立，必須λ≥42．
又當x₁=x₂=…=x₁₄=1時，滿足條件x₁+x₂+…+x₁₄=14，且f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₁₄）=42，
因此，λ的最小值為42．

點評：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)運算法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用、不等式的求解與證明、恒成立問題，考查學(xué)生的分類討論，計算推理能力及分析問題、解決問題的能力及創(chuàng)新意識．