已知雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的離心率為
2
,且過(guò)P(
5
,1)
,過(guò)右焦點(diǎn)F作兩漸近線的垂線,垂足為M,N.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)求四邊形OMFN的面積(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
考點(diǎn):雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題:計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)根據(jù)雙曲線的離心率e=
2
,可得雙曲線是等軸雙曲線,設(shè)雙曲線方程為x2-y2=a2,代入P的坐標(biāo),即可得出結(jié)論;
(2)求出右焦點(diǎn)F到漸近線y=x的距離,利用四邊形OMFN為正方形,即可求四邊形OMFN的面積.
解答: 解:(1)因?yàn)殡p曲線的離心率e=
2
,所以雙曲線是等軸雙曲線.-----------(2分)
設(shè)雙曲線方程為x2-y2=a2,則
因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)P(
5
,1)
,所以有a2=4
所以雙曲線方程為x2-y2=4-----------(6分)
(2)右焦點(diǎn)F(2
2
,0)到漸近線y=x的距離d=|FM|=2-----------(9分)
因?yàn)樗倪呅蜲MFN為正方形,
所以S四邊形OMFN=2×2=4-----------(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程,考查待定系數(shù)法的運(yùn)用,考查四邊形面積的計(jì)算,確定雙曲線的方程是關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

命題p:不等式
x
x-1
<0
的解集為{x|0<x<1},命題q:“α=β”是“sinα=sinβ”成立的必要不充分條件,則( 。
A、p真q假
B、“p且q”為真
C、“p或q”為假
D、p假q真

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

2013年12月21日上午10時(shí),省會(huì)首次啟動(dòng)重污染天氣Ⅱ級(jí)應(yīng)急響應(yīng),正式實(shí)施機(jī)動(dòng)車車尾號(hào)限行,當(dāng)天某報(bào)社為了解公眾對(duì)“車輛限行”的態(tài)度,隨機(jī)抽查了50人,將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表:
年齡(歲) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75]
頻數(shù) 5 10 15 10 5 5
贊成人數(shù) 4 6 9 6 3 4
(Ⅰ)完成被調(diào)查人員的頻率分布直方圖;
(Ⅱ)若從年齡在[55,65),[65,75)的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取1人進(jìn)行進(jìn)行追蹤調(diào)查,求兩人中至少有一人贊成“車輛限行”的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+
ax
x+1
(a∈R)
(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)y=f(x)的圖象在x=0處的切線方程;
(Ⅱ)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅲ)求證:ln(1+
1
n
1
n
-
1
n2
(n∈N*

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

求證下列不等式
(1)求證:
6
+
7
>2
2
+
5

(2)設(shè)a>0,b>0,a+b=1求證:
1
a
+
1
b
+
1
ab
≥8.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)解不等式:|x-1|+|2x+5|<8;
(2)已知a,b,c>0,且a+b+c=1,證明:
a2
b+3c
+
b2
c+3a
+
c2
a+3b
1
4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

證明:正方體對(duì)角線與其不相交的面的對(duì)角線垂直.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)a>0且a∈Q,b=
a+2
a+1

(Ⅰ)證明:a≠b;
(Ⅱ)求證:在數(shù)軸上,
2
介于a與b之間,且距a較遠(yuǎn);
(Ⅲ)在數(shù)軸上,a與b之間的距離是否可能為整數(shù)?若有,則求出這個(gè)整數(shù);若沒有,說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若函數(shù)f(x)=
1-(
a
2
)x,x≥0
 1-bx   ,   x<0
(a>0
且a≠2,b>0且b≠1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則a+8b的最小值為
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案