Question

已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，a₁=1，對(duì)任意的k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比數(shù)列，公比為q_k；a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差數(shù)列，公差為d_k，且d₁=2．
（1）求a₂的值；
（2）設(shè)b_k=

1

qk-1

，證明：數(shù)列{b_k}為等差數(shù)列；
（3）求數(shù)列{d_k}的前k項(xiàng)和D_k．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）令k=1，由三個(gè)數(shù)成等差（比）數(shù)列的性質(zhì)，得到方程組，根據(jù)條件解出a2，注意舍去負(fù)值；
（2）根據(jù)a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差數(shù)列推出①2a_2k+1=a_2k+a_2k+2，由a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比數(shù)列，且公比為q_k，得a_2k+1=a_2kq_k，再由a_2k+1，a_2k+2，a_2k+3成等比數(shù)列，公比為q_k+1，得a_2k+2=a_2kq_kq_k+1，將它們代入①化簡(jiǎn)整理注意兩邊減1，對(duì)照結(jié)論即可得證；
（3）根據(jù)（2）求出q_k=

k+1

k

，由a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比數(shù)列，公比為q_k，得到

a2k+1

a2k-1

=(

k+1

k

)2，
再應(yīng)用累乘法求出a_2k+1，由a_2k+1=a_2kq_k，得到a_2k，由d_k=a_2k+1-a_2k，求出d_k，再運(yùn)用等差數(shù)列求和公式，求出D_k．

解答： 解：（1）由題意令k=1，則a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，a₂，a₃，a₄成等差數(shù)列，且d₁=2，
∴

a22=a1a3 a3=a2+2

，由a₁=1，則a22=a2+2，
∴a₂=2或a₂=-1，
∵a_n＞0，∴a₂=2；
（2）證明：∵a_2k-1，a_2k，a_2k+1成公比為q_k的等比數(shù)列，a_2k+1，a_2k+2，a_2k+3成公比為q_k+1的等比數(shù)列
∴a_2k+1=a_2kq_k，a_2k+2=a_2k+1q_k+1
又∵a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差數(shù)列，
∴2a_2k+1=a_2k+a_2k+2．
得2a2k+1=

a2k+1

qk

+a2k+1qk+1，2=

1

qk

+qk+1，

qk-1

qk

=qk+1-1，
∴

1

qk+1-1

=

qk

qk-1

=1+

1

qk-1

，

1

qk+1-1

-

1

qk-1

=1，即b_k+1-b_k=1．
∴數(shù)列數(shù)列{b_k}為公差d=1的等差數(shù)列，且b1=

1

q1-1

=1，
∴b_k=b₁+（k-1）•1=k；
（3）當(dāng)b₁=1時(shí)，由（2）得bk=

1

qk-1

=k，qk=

k+1

k

，
即

a2k+1

a2k-1

=(

k+1

k

)2，
∴a2k+1=

a2k+1

a2k-1

•

a2k-1

a2k-3

…

a3

a1

•a1=(

k+1

k

)2•(

k

k-1

)2…(

2

1

)2•1=(k+1)2，
∴a2k=

a2k+1

qk

=k(k+1)，
∴d_k=a_2k+1-a_2k=（k+1）²-k（k+1）=k+1，
即{d_k}成首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，
∴D_k=

k(k+3)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，以及通項(xiàng)公式與求和公式，考查通過構(gòu)造數(shù)列解決相關(guān)問題的能力，考查推理證明能力，是一道數(shù)列綜合題．