Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_na_n+1=2ⁿ，則a₁+a₂+a₃+…+a₂₀．

Answer 1

分析 由題意可推出數(shù)列{a_n}的所有奇數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所有偶數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；從而解得．

解答 解：∵a₁=2，a₁a₂=2¹，∴a₂=1，
∵a_na_n+1=2ⁿ，a_n+1a_n+2=2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n}}$=2，
∴數(shù)列{a_n}的所有奇數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所有偶數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；
∴a₁+a₂+a₃+…+a₂₀=$\frac{2（1-{2}^{10}）}{1-2}$+$\frac{1（1-{2}^{10}）}{1-2}$
=3•（2¹⁰-1）=3×（1024-1）=3069．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列等差數(shù)列的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用．