Question

8．設函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ+$\frac{π}{4}$）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為π，且f（-x）=f（x），則（　�。�

• A． f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）單調(diào)遞減
• B． f（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）單調(diào)遞減
• C． f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）單調(diào)遞增
• D． f（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）單調(diào)遞增

Answer 1

分析 由條件利用正弦函數(shù)的周期性求得ω的值，再根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性，求得φ的值，可得函數(shù)的解析式，從而得到它的單調(diào)性．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ+$\frac{π}{4}$）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為π，
則$\frac{2π}{ω}$=π，求得ω=2，函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+φ+$\frac{π}{4}$）．
再根據(jù)f（-x）=f（x），可得f（x）為偶函數(shù)，故φ+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，|φ|＜$\frac{π}{2}$，
故取φ=$\frac{π}{4}$，函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$cos2x．
故f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）單調(diào)遞減，
故選：A．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性，屬于基礎題．