Question

定義在R上的函數(shù)f（x）為增函數(shù)，命題P：函數(shù)y=f（x）+f（-x）在R上是偶函數(shù)且導函數(shù)為增函數(shù)；命題Q：函數(shù)y=-f（x）+f（-x）是R上的減函數(shù)且導函數(shù)為偶函數(shù)．問P∧Q為真命題還是假命題，為什么？

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：首先，借助于函數(shù)的奇偶性的定義和復合函數(shù)的導數(shù)法則，分別判斷函數(shù)y=f（x）+f（-x）和函數(shù)y=-f（x）+f（-x）的導函數(shù)的奇偶性，然后，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的定義，判斷它們的單調(diào)性．

解答： 解：P∧Q為真命題，理由如下：
由命題p：
設函數(shù)F（x）=f（x）+f（-x），
則F（-x）=f（-x）+f（x）=F（x）
∴函數(shù)y=f（x）+f（-x）為偶函數(shù)，
又∵y′=F′（x）=f′（x）-f′（-x），
∵函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，
∴函數(shù)f（-x）為R上的減函數(shù)，
∴f′（x）＞0，f′（-x）＜0，
∴F′（x）=f′（x）-f′（-x）＞0，
∴函數(shù)y=f（x）+f（-x）導函數(shù)為增函數(shù)，
∴命題p為真命題；
對于命題Q：
∴函數(shù)y=-f（x）+f（-x）是R上的減函數(shù)，
設函數(shù)G（x）=-f（x）+f（-x），
則G′（x）=-f′（x）-f′（-x），
∴G′（-x）=-f′（-x）-f′（x）=G′（x），
∴G′（x）=-f′（x）-f′（-x）為偶函數(shù)，
∴函數(shù)y=-f（x）+f（-x）導函數(shù)為偶函數(shù)，
∴命題Q為真命題，
結(jié)合復合命題的真值表，
得到P∧Q為真命題．
故答案為P∧Q為真命題．

點評：本題重點考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、復合函數(shù)的導數(shù)計算，函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)之間的關系，考查比較綜合，需要注意復合函數(shù)的導數(shù)．