求證：當x≥4時，
x
＞lnx．
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導數(shù)的運算
專題：導數(shù)的綜合應用
分析：設函數(shù)f(x)=
x
-lnx(x＞0)，則f′(x)=
1
2
×
1
x
-
1
x
=
x
-2
2x
，令f'（x）=0，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而證明
x
＞lnx成立．
解答： 證明：
x
＞lnx等價于
x
-lnx＞0
設函數(shù)f(x)=
x
-lnx(x＞0)，
則f′(x)=
1
2
×
1
x
-
1
x
=
x
-2
2x
，
令f'（x）=0，解得x=4，
當x＞4時，f'（x）＞0，
當x＜4時，f'（x）＜0，
∴當x=4，f（x）取得極小值，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[4，+∞），
f（x）≥f（4）．
又當x=4時，f（x）=f（4）=2-ln4＞0
∴x≥4時，f（x）＞0，
即
x
-lnx＞0，
∴
x
＞lnx成立．
點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用，不等式的證明，本題屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一個盒子里裝有6張卡片，其中有紅色卡片4張，編號分別為1，2，3，4； 白色卡片2張，編號分別為1，2．
（1）從盒子中隨機抽取2張卡片，求兩張都是紅色的概率；
（2）從盒子中有放回的逐次抽取2張卡片，求兩張卡片的編號都為2的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對變量x，y，測得一組數(shù)據(jù)如下表：
x 2 4 5 6 8
y 20 40 60 70 80
（1）求變量x與y之間的相關系數(shù)（保留四個有效數(shù)字），并判斷是否具有線性相關關系？是正相關還是負相關？（參考數(shù)據(jù)
29
≈5.385）
（2）若變量x與y之間具有線性相關關系，求y對x的線性回歸方程
y
=bx+
a
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

用導數(shù)的定義求：
（1）y=
2
x2
在x=1處的導數(shù)；
（2）y=x2+ax+b（a，b為常數(shù)）在x=-1處的導數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

正三角形有這樣一個性質(zhì)：正三角形內(nèi)任一點（不與頂點重合）到三邊的距離和為定值．且此定值即高．類比到空間正四面體，對于空間正四面體內(nèi)任一點（不與頂點重合），關注它到四個面的距離和，請類比出一個正確的結論．并予以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=sinxcosx-
3
cos（x+π）cosx（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求y=f（x）在[0，
π
3
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（文科）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分別是CD和PC的中點．求證：
（1）PA⊥底面ABCD；     
（2）BE∥平面PAD；     
（3）平面BEF⊥平面PCD．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）=
a
ex
+blnx．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=x+1，求a，b的值；
（Ⅱ）當a=e，b=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log2（2x2+mx-1）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍為
 
．

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