Question

設f（x）=

a

ex

+blnx．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=x+1，求a，b的值；
（Ⅱ）當a=e，b=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）對f（x）求導，根據(jù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程，求出a、b的值；
（Ⅱ）a=e，b=1時，求出f（x）的導數(shù)，利用導數(shù)來判定f（x）的單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性求出f（x）的極小值．

解答： 解：（Ⅰ）對f（x）求導，得f′(x)=

b

x

-

a

ex

；
由f′(1)=b-

a

e

=1，f(1)=

a

e

=1+1=2，
解得a=2e，b=3；
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
當a=e，b=1時，f(x)=

e

ex

+lnx，f′(x)=

1

x

-

e

ex

=

ex-ex

xex

；
令g（x）=e^x-ex，求導得g'（x）=e^x-e；
當x∈（0，1）時，g'（x）＜0，則f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
當x∈（1，+∞）時，g'（x）＞0，則f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞），減區(qū)間是（0，1）；
∴當x=1時，f（x）有極小值f（1）=1．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用問題，解題時應利用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性，并且利用函數(shù)的單調(diào)性來求函數(shù)的極值，是綜合性題目．