Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sinxcosx-

3

cos（x+π）cosx（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求y=f（x）在[0，

π

3

]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用誘導(dǎo)公式，除次升角公式和和差角公式，將函數(shù)f（x）的解析式化為f（x）=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，進(jìn)而可得f（x）的最小正周期；
（2）由x∈[0，

π

3

]，求出相位角的范圍，進(jìn)而結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可求出y=f（x）在[0，

π

3

]上的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinxcosx-

3

cos（x+π）cosx
=sinxcosx+

3

cos²x
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，
∵ω=2，
f（x）的最小正周期T=π，
（2）∵x∈[0，

π

3

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，π]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[0，1]，
∴sin（2x+

π

3

）+

3

2

∈[

3

2

，

3

2

+1]，
即y=f（x）在[0，

π

3

]上的值域?yàn)閇

3

2

，

3

2

+1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是兩角差的正弦函數(shù)公式，正弦型函數(shù)的值域和周期，是三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．