Question

18．如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E為AD的中點(diǎn)，正方形DBFG所在平面與平面ABCD垂直．
（1）求證：BE⊥平面BCF；
（2）求直線AF與平面BCG所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知推導(dǎo)出BE⊥BC，BF⊥BC，由此能證明BE⊥平面BCF．
（2）以B為原點(diǎn)，EB延長(zhǎng)線為x軸，BC為y軸，BF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AF與平面BCG所成角的正弦值．

解答 證明：（1）∵在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E為AD的中點(diǎn)，
∴BE⊥AD，∵AD∥BC，∴BE⊥BC，
∵正方形DBFG所在平面與平面ABCD垂直，
∴BF⊥BD，∴BF⊥平面ABCD，∴BF⊥BC，
∵BF∩BC=B，
∴BE⊥平面BCF．
解：（2）以B為原點(diǎn)，EB延長(zhǎng)線為x軸，BC為y軸，BF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=2，則A（-$\sqrt{3}$，-1，0），F(xiàn)（0，0，2），
B（0，0，0），C（0，2，0），G（-$\sqrt{3}$，1，2），
$\overrightarrow{AF}$=（$\sqrt{3}$，1，2），$\overrightarrow{BG}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），$\overrightarrow{BC}$=（0，2，0），
設(shè)平面BCG的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），111111111111
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BG}=-\sqrt{3}x+y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2y=0}\end{array}\right.$，
取x=4$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（4$\sqrt{3}$，0，6），
設(shè)直線AF與平面BCG所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AF}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•AF}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AF}|}$|=|$\frac{12+12}{2\sqrt{2}•2\sqrt{21}}$|=$\frac{\sqrt{42}}{7}$．
∴直線AF與平面BCG所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{42}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．