Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1，記點(diǎn)M的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程；
（2）若P是軌跡C上的動(dòng)點(diǎn)．P點(diǎn)在y軸上的射影是點(diǎn)N，點(diǎn)A（3，4），當(dāng)x≥0時(shí)，求|PA|+|PN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，建立方程，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）先根據(jù)拋物線(xiàn)方程求得焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)方程，可把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為P到準(zhǔn)線(xiàn)與P到A點(diǎn)距離之和最小，進(jìn)而根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知拋物線(xiàn)中P到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于P到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而推斷出P、A、F三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)|PF|+|PA|距離之和最小，利用兩點(diǎn)間距離公式求得|FA|，則|PA|+|PN|的最小值可求．

解答 解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），
由題意，∵動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，
∴$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=|x|+1；
化簡(jiǎn)得y²=4x（x≥0）或y=0（x≤0），
∴點(diǎn)M的軌跡C的方程為$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x（x≥0）}\\{y=0（x＜0）}\end{array}\right.$；
（2）依題意可知，拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1
只需直接考慮P到準(zhǔn)線(xiàn)與P到A點(diǎn)距離之和最小即可，
由于在拋物線(xiàn)中P到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于P到焦點(diǎn)的距離，
此時(shí)問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為|PF|+|PA|距離之和最小即可（F為曲線(xiàn)焦點(diǎn)），
顯然當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)|PF|+|PA|距離之和最小，為|FA|，
由兩點(diǎn)間距離公式得|FA|=$\sqrt{（3-1）^{2}+（4-0）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
那么|PA|+|PN|的最小值為2$\sqrt{5}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想和分析推理能力，是中檔題．