Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+a，g（x）=x-a．
（Ⅰ）當(dāng)直線y=g（x）恰好為曲線y=f（x）的切線時，求a的值；
（Ⅱ）若不等式kg（x+a）≥f（x）-a在（0，+∞）上恒成立，求k的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)a＞0時，若函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）在區(qū)間[e-

3

2

，1]上不單調(diào)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)切點為（x₀，y₀），利用直線y=g（x）恰好為曲線y=f（x）的切線，求出切點的坐標(biāo)，即可求a的值；
（Ⅱ）由題意，kx≥lnx在（0，+∞）上恒成立，即k≥

lnx

x

在（0，+∞）上恒成立，求出函數(shù)的最大值，即可求k的最小值；
（Ⅲ）確定F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，由函數(shù)F（x）在區(qū)間[e-

3

2

，1]上不單調(diào)，且F′（1）=1+a+ln1-a＞0，可得F′（e-

3

2

）=1+a+lne-

3

2

-

a

e- 3 2

＜0，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)切點為（x₀，y₀），
∵f（x）=lnx+a，∴f′（x）=

1

x

，
∵直線y=g（x）恰好為曲線y=f（x）的切線，
∴

1

x0

=1，
∴x₀=1，
∴切點為（1，a），
代入g（x）=x-a，可得1-a=2，
∴a=

1

2

；
（Ⅱ）由題意，kx≥lnx在（0，+∞）上恒成立，
∴k≥

lnx

x

在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)h（x）=

lnx

x

（x∈（0，+∞）），則h′（x）=

1-lnx

x2

=0，可得x=e，
∴函數(shù)在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，
∴h（x）_max=h（e）=

1

e

，
∴k≥

1

e

，
∴k的最小值是

1

e

；
（Ⅲ）函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）=（lnx-a）（x-a），則F′（x）=1+a+lnx-

a

x

，
∵a＞0，∴F′（x）＞0，
∴F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∵函數(shù)F（x）在區(qū)間[e-

3

2

，1]上不單調(diào)，且F′（1）=1+a+ln1-a＞0，
∴F′（e-

3

2

）=1+a+lne-

3

2

-

a

e- 3 2

＜0，
解得a＞

e +1

2(e-1)

．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，分離參數(shù)，求最值是關(guān)鍵．