Question

設(shè){a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=1，b₁=2，a₂+b₃=10，a₃+b₂=7．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，記cn=

Sn

3

•an，n∈N^*．求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，列出方程組，能求出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由題意推導(dǎo)出Sn=2n+1-2，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： （本小題滿分14分）
（Ⅰ）由題意，

a1+d+b1•q2=10 a1+2d+b1•q=7

，
代入得

1+d+2•q2=10 1+2d+2•q=7

，
消d得2q²-q-6=0，…（4分）
（2q+3）（q-2）=0，
∵{b_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，∴q=2，
進(jìn)而d=1，
∴an=n，   bn=2n…（7分）
（Ⅱ）Sn=2n+1-2，…（9分）
cn=an•

Sn

2

=n•(2n-1)=n•2n-n，…（10分）
設(shè)Wn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n，
2w_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
二者相減，得Wn=(n-1)•2n+1+2，…（12分）
∴Tn=Wn-

(1+n)n

2

=(n-1)•2n+1-

n2+n

2

+2…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．