Question

拋物線M：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線過橢圓N：

4x2

5

+y²=1的左焦點，以坐標(biāo)原點為圓心，以t（t＞0）為半徑的圓分別與拋物線M在第一象限的部分以及y軸的正半軸相交于點A與點B，直線AB與x軸相交于點C．
（1）求拋物線M的方程；
（2）設(shè)點A的橫坐標(biāo)為x₁，點C的橫坐標(biāo)為x₂，曲線M上點D的橫坐標(biāo)為x₁+2，求直線CD的斜率．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由橢圓方程求出橢圓左焦點坐標(biāo)，得到拋物線焦點坐標(biāo)，從而求得p值，則拋物線方程可求；
（2）寫出A的坐標(biāo)，由|OA|=t列式求得t與A的坐標(biāo)間的關(guān)系，求出直線BC的方程，把A代入BC方程，得到
x₁，x₂ 的關(guān)系，然后直接代入斜率公式求直線CD的斜率．

解答： 解：（1）∵橢圓N：

4x2

5

+y²=1，
∴c2=a2-b2=

5

4

-1=

1

4

，
∴橢圓的左焦點為F1(-

1

2

，0)，
∴-

p

2

=-

1

2

，則p=1．
故M：y²=2x；
（2）由題意知，A(x1，

2x1

)，
∵|OA|=t，
∴x12+2x1=t2．
由于t＞0，故有t=

x12+2x1

  ①
由點B（0，t），C（x₂，0）的坐標(biāo)知，
直線BC的方程為

x

x2

+

y

t

=1．
又∵A在直線BC上，故有

x1

x2

+

2x1

t

=1．
將①代入上式，得     

x1

x2

+

2x1

x1(x1+2)

=1，解得x2=x1+2+

2(x1+2)

．
又∵D（x₁+2，2

2(x1+2)

），
∴直線CD的斜率為：
kCD=

2(x1+2)

x1+2-x2

=

2(x1+2)

x1+2-(x1+2+ 2(x1+2) )

=

2(x1+2)

- 2(x1+2)

=-1．

點評：本題主要拋物線方程的求法，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是對拋物線定義的靈活應(yīng)用，是高考試卷中的壓軸題．