Question

【題目】設函數，．

（Ⅰ）若，證明函數有唯一的極小值點；

（Ⅱ）設且，記函數的最大值為M，求使得的a的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）正整數a的最小值為3

【解析】

（Ⅰ）設，得出的單調性，再依據零點存在性定理得出結論．

（Ⅱ）由題得，設，則，

則在上為單調遞減函數，從而得出在上為單調遞減函數，且

，則，所以，存在唯一的，使得，進而可得在處取得最大值，，所以，從而得出答案．

（Ⅰ）∵，

設，則，

當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增，

且，

當時，，

當時，取，則，

依據零點存在性定理，知存在唯一的，使得，

且時，，遞減，

且時，，遞增，

故為函數唯一的極小值點．

（Ⅱ）因為，

所以，

設，則，

則在上為單調遞減函數，

取，則，

取，則，

所以，存在唯一的，使得，即，

且當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

故函數在處取得最大值，

此時，由得，

，

由兩邊取對數，得

則，

由已知，，

故正整數a的最小值為3．