【題目】已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足下列條件:①f(x)不恒為0;②對任意的正實數(shù)x和任意的實數(shù)y都有f(xy)=yf(x).
(1)求證:方程f(x)=0有且僅有一個實數(shù)根;
(2)設a為大于1的常數(shù),且f(a)>0,試判斷f(x)的單調(diào)性,并予以證明;
(3)若a>b>c>1,且,求證:f(a)f(c)<[f(b)]2.
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析
【解析】
(1)先令y=0,求出方程的實數(shù)根,再證明即可.
(2)由條件f(a)>0,根據(jù)單調(diào)性的定義即可證明f(x)在上是增函數(shù).
(3)根據(jù)不等式的性質(zhì)即可證明f(a)f(c)<[f(b)]2.
(1)證明:令y=0,∵對任意的正實數(shù)x和任意的實數(shù)y都有f(xy)=yf(x).
則f(1)=0,因此x=1是方程f(x)=0一個實數(shù)根.
先證明以下結論:
設0<a,a≠1時,假設x,y>0,則存在m,n,使x=am,y=an,
∵對任意的正實數(shù)x和任意的實數(shù)y都有f(xy)=yf(x).
∴f(xy)=f(aman)=f(am+n)=(m+n)f(a),
f(x)+f(y)=f(am)+f(an)=mf(a)+nf(a)=(m+n)f(a).
則f(xy)=f(x)+f(y).
令y=0,則f(x)=0,
若方程f(x)=0還有一個實數(shù)根,可得f(x)≡0.
與已知f(x)不恒為0矛盾.
因此:方程f(x)=0有且僅有一個實數(shù)根;
(2)設xy=ac,則y=logxac,
∴設x0∈(0,1),則f()=(logax0)f(a)<0,
設x1,x2為區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的任意兩個值,且x1<x2,則0<<1,
由(1)可得:
f(x1)﹣f(x2)=f(x2)﹣f(x2)=f()+f(x2)﹣f(x2)=f()<0
所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
(3)設xy=ac,則y=logxac,
∴f(ac)=f(xy)=yf(x)=(logxac)f(x)
=(logxa+logxc)f(x)=(logxa)f(x)+(logxc)f(x)
=f(/span>)+f()=f(a)+f(c)
∵b2=ac,
∴f(b2)=f(ac),
即2f(b)=f(a)+f(c),
f(b)= [f(a)+f(c)],
∴[f(b)]2﹣f(a)f(c)=[]2﹣f(a)f(c)=[]2,
下面證明當x≠1時,f(x)≠0.
假設存在x≠1,f(x0)=0,則對于任意x≠1,f(x)=f()=(logx)f(x0)=0
不合題意.所以,當x≠1時,f(x)≠0.
因為a>b>c>1,所以存在m≠1,
f(a)﹣f(c)=f()﹣f()=(logma﹣logmc)f(m)≠0,
所以f(a)≠f(c),所以f(a)f(c)<f2(b).
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【題目】設函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)﹣f′(x)是奇函數(shù)
(1)求b、c的值.
(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.
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【題目】已知橢圓離心率為,點P(0,1)在短軸CD上,且.
(I)求橢圓E的方程;
(II)過點P的直線l與橢圓E交于A,B兩點.若,求直線l的方程.
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【題目】在古代三國時期吳國的數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”,由四個全等的直角三角形圍成一個大正方形,中間空出一個小正方形(如圖陰影部分)。若直角三角形中較小的銳角為a。現(xiàn)向大正方形區(qū)城內(nèi)隨機投擲一枚飛鏢,要使飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率為,則_____________。
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【題目】設函數(shù),(為常數(shù)),.曲線在點處的切線與軸平行
(1)求的值;
(2)求的單調(diào)區(qū)間和最小值;
(3)若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某旅行團按以下規(guī)定選擇五個景區(qū)游玩:①若去,則去;②不能同時去;③都去,或者都不去;④去且只去一個;⑤若去,則要去和.那么,這個旅游團最多能去的景區(qū)為_______.
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【題目】
在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知點A的極坐標(,),直線l的極坐標方程為ρcos(θ-)=a,.
(1)若點A在直線l上,求直線l的直角坐標方程;
(2)圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),若直線與圓C相交的弦長為,求的值。
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