Question

15．空間四邊形OABC各邊以及AC、BO的長都是1，點D、E分別是邊OA，BC的中點，連接DE．
（1）求直線AC與OB所成角；
（2）計算DE的長．

Answer 1

分析 （1）可畫出圖形，取AC的中點F，并連接OF，BF，容易說明AC⊥平面BOF，從而便可得到AC⊥OB，從而直線AC與OB所成的角便為直角；
（2）可取OC的中點G，并連接AG，BG，從而可得到OC⊥AB，連接DF，EF，便得到直角三角形DEF，且DF=EF=$\frac{1}{2}$，從而可以求出斜邊DE的長．

解答 解：如圖，

（1）取AC中點F，連接OF，BF；
∵△ABC和△AOC都是等邊三角形；
∴AC⊥OF，AC⊥BF，OF∩BF=F；
∴AC⊥平面BOF，OB?平面BOF；
∴AC⊥OB；
∴直線AC和OB所成的角為90°；
（2）取OC中點G，連接AG，BG，則：
OC⊥平面ABG；
∴OC⊥AB；
連接EF，DF，則EF∥AB，DF∥OC，且$EF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}，DF=\frac{1}{2}$；
∴EF⊥DF；
∴$DE=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 考查等邊三角形的中線也是高線，線面垂直的判定定理，線面垂直的性質(zhì)，以及三角形中位線的性質(zhì)，直角三角形的邊的關(guān)系．