Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足關(guān)系式：3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（其中t＞0，n=2，3，4，…）
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為f（t），作數(shù)列{b_n}，使b₁=1，b_n=f（

1

bn-1

）（n=2，3，4…），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n．
（Ⅲ）設(shè)T_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄ -b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性,等比關(guān)系的確定

專(zhuān)題：

分析：（Ⅰ）由3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t⇒3tS_n-1-（2t+3）S_n-2=3t，兩式相減，可得3ta_n-（2t+3）a_n-1=0，進(jìn)一步可求得a₂=

2t+3

3t

，

a2

a1

=

2t+3

3t

，從而可證數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由f（t）=

2t+3

3t

=

2

3

+

1

t

，得b_n=f（

1

bn-1

）=

2

3

+b_n-1⇒{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為

2

3

的等差數(shù)列，從而可求得其通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）由b_n=

4n+1

3

，可知{b_2n-1}和{b_2n}是首項(xiàng)分別為1和

5

3

，公差均為

4

3

的等差數(shù)列，從而將所求關(guān)系式T_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄ -b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1，整理變形為T(mén)_n=-

4

3

（b₂+b₄+…+b_2n），從而可求T_n．

解答： （Ⅰ）證明：由a₁=1，S₂=1+a₂，得3t（1+a₂）-（2t+3）=3t．
a₂=

2t+3

3t

，

a2

a1

=

2t+3

3t

…2分
又3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t，…①
3tS_n-1-（2t+3）S_n-2=3t，…②
①-②得3ta_n-（2t+3）a_n-1=0．
∴

an

an-1

=

2t+3

3t

，n=2，3，4…4分
∴{a_n}是一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為

2t+3

3t

的等比數(shù)列…5分
（Ⅱ）解：由f（t）=

2t+3

3t

=

2

3

+

1

t

，得b_n=f（

1

bn-1

）=

2

3

+b_n-1．
∴{b_n}是首項(xiàng)分別為1，公差為

2

3

的等差數(shù)列，…7分
∴b_n=1+

2

3

（n-1）=

2n+1

3

…9分
（Ⅲ）解：由b_n=

4n+1

3

，可知{b_2n-1}和{b_2n}是首項(xiàng)分別為1和

5

3

，公差均為

4

3

的等差數(shù)列，于是b_2n=

4n+1

3

，
∴b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄ -b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）…11分
=-

4

3

（b₂+b₄+…+b_2n）=-

4

3

×

1

2

n（

5

3

+

4n+1

3

）=-

4

9

（2n²+3n）…14分

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，著重考查等比關(guān)系的確定，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，考查數(shù)列的求和及推理、論證及綜合運(yùn)算能力，屬于難題．