Question

已知A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，向量

α

=（cos

A-B

2

，

3

sin

A+B

2

），|

α

|=

2

．如果當(dāng)C最大時(shí)，存在動(dòng)點(diǎn)M，使得|

MA

|，|

AB

|，|

MB

|成等差數(shù)列，則

| MC |

| AB |

最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,平面向量的基本定理及其意義,三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由

a

2=(cos

A-B

2

)2+(

3

sin

A+B

2

)2，得cos（A-B）+3cosC=0，當(dāng)C最大時(shí)，A=B，cosC=-

1

3

．由|MA|，|AB|，|MB|成等差數(shù)列，知M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)、2|AB|為長(zhǎng)軸的橢圓，由此能求出

|MC|

|AB|

最大值．

解答： 解：∵

α

=（cos

A-B

2

，

3

sin

A+B

2

），|

α

|=

2

∴

a

2=(cos

A-B

2

)2+(

3

sin

A+B

2

)2
=

1

2

[1+cos（A-B）+3-3cos（A+B）]=2，
∴0=cos（A-B）-3cos（A+B）=cos（A-B）+3cosC，
當(dāng)C最大時(shí)，A=B，cosC=-

1

3

，
∵|MA|，|AB|，|MB|成等差數(shù)列，
∴|MA|+|MB|=2|AB|，
∴M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)、2|AB|為長(zhǎng)軸的橢圓，
∵比值與單位的選擇無(wú)關(guān)，∴設(shè)|AB|=2，AB的中點(diǎn)為O，
由A=B，知|AC|=|BC|=p，
由余弦定理，2p²（1+

1

3

）=4，解得p²=

3

2

，
∴|OC|=

p2-1

=

1

2

，
直觀判斷，當(dāng)M是上述橢圓的短軸端點(diǎn)（與點(diǎn)C在AB的兩側(cè)），
這時(shí)|OM|=

3

，
∴

|MC|

|AB|

最大值為

1 2 + 3

2

=

2 3 + 2

4

．
故答案為：

2 3 + 2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩線(xiàn)段比值的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量、數(shù)列、橢圓等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．