Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c滿足：f（0）=0，對任意x∈R，都有f（x）≥x且f（x）的對稱軸為x=-0.5，令g（x）=f（x）-|tx-1|（t＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；  
（2）當(dāng)t=1時，求函數(shù)g（x）的最小值；
（3）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（0）=0，求出c，再由對任意x∈R，都有f（x）≥x恒成立，求出b，利用f（x）的對稱軸為x=-0.5，求出a，由此能求出f（x）．
（2）由題設(shè)知g（x）=

x2+1，x≥1 x2+2x-1，x＜1

，分x≥1和x＜1兩種情況進(jìn)行討論，能求出g（x）的最小值．
（3）g（x）=

x2+(1-t)x+1，x≥ 1 t x2+(1+t)x-1，x＜ 1 t

，分x≥

1

t

和x＜

1

t

兩種情況進(jìn)行分析討論，能求出函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）由f（0）=0，得c=0，
且對任意x∈R，都有f（x）≥x恒成立，
即ax²+（b-1）x≥0恒成立，…（2分）
可得b=1，又f（x）的對稱軸為x=-0.5，
即-

b

2a

=-

1

2

，得a=1，
所以f（x）=x²+x．…（4分）
（2）g（x）=x²+x-|x-1|=

x2+1，x≥1 x2+2x-1，x＜1

，…（5分）
當(dāng)x≥1時，g（x）的最小值為g（1）=2；
當(dāng)x＜1時，g（x）的最小值為g（-1）=-2，
∴g（x）的最小值為-2．…（8分）
（3）g（x）=f（x）-|tx-1|=

x2+(1-t)x+1，x≥ 1 t x2+(1+t)x-1，x＜ 1 t

，…（9分）
①當(dāng)x≥

1

t

時，g（x）的對稱軸為x=

t-1

2

，

t-1

2

≤

1

t

，
即0＜t≤2時，g（x）在[

1

t

，+∞）上單調(diào)增，

t-1

2

＞

1

t

，即t＞2時，g（x）在（

t-1

2

，+∞）上單調(diào)增，
在（

1

t

，

t-1

2

）上單調(diào)減．…（11分）
②當(dāng)x＜

1

t

時，g（x）的對稱軸為x=-

t+1

2

，
因為t＞0，則-

t+1

2

＜

1

t

，
所以g（x）在（-

t+1

2

，

1

t

）上單調(diào)遞增，
在（-∞，-

t+1

2

）上單調(diào)遞減．…（13分）
綜上所述：0＜t≤2時，g（x）在（-

t+1

2

，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，-

t+1

2

）單調(diào)減；
t＞2時，g（x）在（-

t+1

2

，

1

t

），（

t-1

2

，+∞）單調(diào)遞增，
在（-∞，-

t+1

2

），（

1

t

，

t-1

2

）單調(diào)遞減．…（14分）

點評：本題考查函數(shù)的表達(dá)式的求法，考查函數(shù)的最小值的求法，考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，解題時要注意分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．