Question

已知兩正數(shù)x，y滿足x+y=1，求z=（x+

1

x

）（y+

1

y

）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：將z進(jìn)行變形構(gòu)造出適合基本不等式適用的結(jié)構(gòu)，再利用基本不等式求最值．

解答： 解：z=（x+

1

x

）（y+

1

y

）=xy+

1

xy

+

y

x

+

x

y

=xy+

1

xy

+

(x+y)2-2xy

xy

=xy+

2

xy

-2，
令t=xy，則0＜t=xy≤(

x+y

2

)2=

1

4

，（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)）．
由f（t）=t+

2

t

在（0，

1

4

]上單調(diào)遞減，故當(dāng)t=

1

4

時(shí)，f（t）=t+

2

t

有最小值

33

4

，
從而當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

1

2

時(shí)，z有最小值為

33

4

-2=

25

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式的應(yīng)用：求最值．基本不等式求最值時(shí)要注意三個(gè)原則：一正，即各項(xiàng)的取值為正；二定，即各項(xiàng)的和或積為定值；三相等，即要保證取等號(hào)的條件成立．