Question

若正數(shù)x，y，z滿足x²+4y²=z+3xy，則當(dāng)

xy

z

取最大值時，

1

x

+

1

2y

-

1

z

的最大值為（　　）

• A、2
• B、

  3

  2

• C、1
• D、

  1

  2

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：確定

xy

z

取最大值時，x=2y，代入，即可求出

1

x

+

1

2y

-

1

z

的最大值．

解答： 解：∵x²+4y²=z+3xy，
∴z=x²-3xy+4y²，
又x，y，z均為正實數(shù)，
∴

xy

z

=

xy

x2-3xy+4y2

=

1

x y + 4y x -3

≤

1

2 y x • 4y x -3

=1（當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時取“=”），
∴（

xy

z

）_max=1，此時，x=2y．
∴z=x²-3xy+4y²=（2y）²-3×2y×y+4y²=2y²，
∴

1

x

+

1

2y

-

1

z

=

1

y

-

1

2y2

=-

1

2

（

1

y

-1）²+

1

2

≤

1

2

．
∴

1

x

+

1

2y

-

1

z

的最大值為

1

2

．
故選：D．

點評：本題考查基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，考查配方法的運用，正確運用基本不等式是關(guān)鍵．