Question

已知實數x，y，z滿足x+y+2z=1，設t=x²+y²+2z²．
（Ⅰ）求t的最小值；
（Ⅱ）當t=

1

2

時，求z的取值范圍．

Answer 1

考點：二維形式的柯西不等式

專題：選作題,不等式

分析：（Ⅰ）利用題中條件：“x+y+2z=1”構造柯西不等式（x²+y²+2z²）（1²+1²+

2

²）≥（x+y+2z）²這個條件進行計算即可；
（Ⅱ）當t=

1

2

時，x+y=1-2z，x2+y2=

1

2

-2z2，由柯西不等式，有（1²+1²）（x²+y²）≥（x+y）²，可得2(

1

2

-2z2)≥(1-2z)2，即可求z的取值范圍．

解答： 解：（I）∵（x²+y²+2z²）（1²+1²+

2

²）≥（x+y+2z）²，x+y+2z=1，t=x²+y²+2z²，
∴4t≥1，
∴t≥

1

4

，∴tmin=

1

4

--------------（5分）
（II）x+y=1-2z，x2+y2=

1

2

-2z2，
由柯西不等式，有（1²+1²）（x²+y²）≥（x+y）²
∴2(

1

2

-2z2)≥(1-2z)2
化簡得，2z²-z≤0
∴0≤z≤

1

2

．
∴z的取值范圍是[0，

1

2

]---------------（10分）

點評：本題考查柯西不等式，關鍵是利用（x²+y²+2z²）（1²+1²+

2

²）≥（x+y+2z）²．