Question

已知函數(shù)f（x）=x²-x，g（x）=lnx-2x．
（Ⅰ）若函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）時(shí)，求函數(shù)h（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)F（x）=f（x）+ag（x），求函數(shù)F（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知條件得h′(x)=2x-3+

1

x

，x＞0．由h′（x）＞0，能求出函數(shù)h（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）由題意知F′(x)=2x-(2a+1)x+

a

x

，由此能求出函數(shù)F（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²-x，g（x）=lnx-2x，
∴h（x）=f（x）+g（x）=x²-3x+lnx，
∴h′(x)=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

，x＞0．
由h′（x）＞0，得x＞1或0＜x＜

1

2

，
∴函數(shù)h（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，

1

2

），（1，+∞）．
（Ⅱ）F（x）=f（x）+ag（x）
=x²-（2a+1）x+alnx，
F′（x）=2x-1-2a+

a

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

=

(2x-1)(x-a)

x

=0．
當(dāng)a≤1時(shí)，x∈[1，e]，F(xiàn)′（x）≥0，F(xiàn)（x）單調(diào)增，F(xiàn)（x）_min=-2a．
當(dāng)1＜a＜e時(shí)，x∈（1，a），F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)減；
x∈（a，e），F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)增，
F(x)min=F(a)=-a2-a+alna．
當(dāng)a≥e時(shí)，x∈[1，e]，F(xiàn)′（x）≤0，
F（x）單調(diào)減，F(xiàn)（x）_min=F（e）=e²-（2a+1）e+a．
綜上，F(x)min=

-a2+alna，1＜a＜e e2-(2a+1)e+a，a≥e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的增區(qū)間的求法，考查函數(shù)的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．