Question

已知數(shù)列{a_n}滿足S_n+a_n=2n+1（n≥1，且n∈N^*）
（1）求出a₁，a₂，a₃的值；
（2）由（1）猜想出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)S_n+a_n=2n+1，代入即可求出a₁，a₂，a₃．
（2）總結(jié)出規(guī)律求出a_n，然后利用歸納法進(jìn)行證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答： 解：（1）由a₁+a₁=2-+1，得a₁=

3

2

，
由a₁+a₂+a₂=2×2+1，得a₂=

7

4

，
同理a₃=

15

8

．
（2）猜測(cè)a_n=2-

1

2n

（n∈N^*）
證明：①由（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

3

2

命題成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，a_k=2-

1

2k

成立，
則n=k+1時(shí)，由已知S_k+1+a_k+1=S_k+2a_k+1=2k+3，
把S_k=2k+1-a_k及a_k=2-

1

2k

代入化簡(jiǎn)a_k+1=2-

1

2k+1

即n=k+1時(shí)，命題成立．
由①②得a_n=2-

1

2n

（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個(gè)步驟：（1）驗(yàn)證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項(xiàng)一種常用求解的方法．