Question

已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為

x=t-3 y= 3 t

，（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ+3=0
（Ⅰ）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)點P是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離d的取值范圍．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：選作題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）應(yīng)用代入法，將t=x+3代入y=

3

t，即可得到直線l的普通方程；將x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²代入曲線C的極坐標(biāo)方程，即得曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）由圓的參數(shù)方程設(shè)出點P（2+2cosθ，2sinθ），θ∈R，根據(jù)點到直線的距離公式得到d的式子，并應(yīng)用三角函數(shù)的兩角和的余弦公式，以及三角函數(shù)的值域化簡，即可得到d的范圍．

解答： 解：（I）將t=x+3代入y=

3

t，得直線l的普通方程為：

3

x-y+3

3

=0；
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ+3=0，
將x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²代入即得曲線C的直角坐標(biāo)方程：（x-2）²+y²=1------------------（4分）
（II）設(shè)點P（2+cosθ，sinθ）（θ∈R），則d=

| 3 (2+cosθ)-sinθ+3 3 |

2

=

|2cos(θ+ π 6 )+5 3 |

2

所以d的取值范圍是[

5 3 -2

2

，

5 3 +2

2

]．--------------------------------（10分）

點評：本題考查參數(shù)方程化為普通方程，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，同時考查圓上一點到直線的距離的最值，本題也可利用圓上一點到直線的距離的最大（最�。┦菆A心到直線的距離加半徑（減半徑）．