Question

【題目】函數(shù)（為常數(shù)）的圖象與x軸有唯一公共點(diǎn)M

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（2）若，存在不相等的實(shí)數(shù)，滿足，證明：.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】

(1)函數(shù)f（x）的定義域為R，結(jié)合函數(shù)的解析式可得，據(jù)此分類討論函數(shù)的單調(diào)性即可；

（2）時，，由結(jié)合函數(shù)的解析式和基本不等式證明題中的結(jié)論即可.

(1)函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（0）=0，

由題意可知，曲線f（x）與x軸存在公共點(diǎn)M（0，0），

又，

若a≤0，f’（x）>0，f（x）單調(diào)遞增；

若a>0，由f’（x）=0得x=1+lna，

當(dāng)時，f（x）<0，f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)時，f'（x）>0，f（x）單調(diào)遞增.

①當(dāng)1+lna=0，即時，f（x）的極小值為f（0）=0，

曲線f（x）與x軸只有一個公共點(diǎn)，符合題意；

②當(dāng)1+lna>0，即時，由基本結(jié)論“x>0時，”，

知，

又f（1+lna）<f（0）=0.

由零點(diǎn)存在定理知，此時的函數(shù)f（x）在區(qū)間（1+lna，a+2）有一個零點(diǎn)，

則f（x）與x軸有兩個公共點(diǎn)，與條件不符，舍去；

③當(dāng)1+lna<0，即時，設(shè)，

則，

即.

又f（1+lna）<f（0）=0.

由零點(diǎn)存在定理知，此時函數(shù)f（x）在區(qū)間有一個零點(diǎn)，

則f（x）與x軸有兩個公共點(diǎn)，與條件不符，舍去；

綜上所述，時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

當(dāng)a≤0時，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.

（2）時，，由得：

，

所以，

由基本不等式知即，

即，即，

而f（x）在單調(diào)遞增，故，所以.