已知x＞0，y＞0，a∈R，b∈R．求證（
ax+by
x+y
）2≤
a2x+b2y
x+y
．
考點：不等式的證明
專題：不等式的解法及應用
分析：利用“分析法”和不等式的性質(zhì)即可證明．
解答： 證明：∵x＞0，y＞0，∴x+y＞0，
∴要證(
ax+by
x+y
)2≤
a2x+b2y
x+y
，
即證（ax+by）2≤（x+y）（a2x+b2y）．
即證xy（a2-2ab+b2）≥0，
即證（a-b）2≥0，
而（a-b）2≥0顯然成立，
故(
ax+by
x+y
)2≤
a2x+b2y
x+y
．
點評：本題考查了“分析法”和不等式的性質(zhì)證明不等式，屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
3
sinxcosx+sin2x-
5
2
，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）最大值和最小正周期；
（2）設(shè)△ABC內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且c=3，f（C）=-1．若sinB=2sinA，求a、b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=λ，an+1=
2
3
an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中λ為實數(shù)，n為正整數(shù)．
（1）對任意實數(shù)λ，求證：a1，a2，a3不成等比數(shù)列；
（2）試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=ln（x+1），g(x)=
1
2
ax2+bx
（1）若a=0，b=1時，求證：f（x）-g（x）≤0對于x∈（-1，+∞）恒成立；
（2）若b=2，且h（x）=f（x-1）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（3）利用（1）的結(jié)論證明：若0＜x＜y，則xlnx+ylny＞(x+y)ln
x+y
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=f（x）的兩個零點為0，1，且其圖象的頂點恰好在函數(shù)y=log2x的圖象上．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）當x∈[0，2]時的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在銳角△ABC中，cos2C=-
1
9
．
（1）求sinC的值；
（2）當a=3，3sinC=
6
sinA時，求b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C1上的任意一點到點A（-1，0），B（1，0）的距離之和為2
2
．
（Ⅰ）求曲線C1的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C2：x2+
3y2
2
=1，若斜率為k的直線OM交橢圓C2于點M，垂直于OM的直線ON交曲線C1于點N．
（i）求證：|MN|的最小值為
2
；
（ii）問：是否存在以原點為圓心且與直線MN相切的圓？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一個幾何體的三視圖如圖所示，側(cè)視圖是一個等邊三角形，俯視圖是半圓和正方形，則這個幾何體的體積為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某班級有3名學生被復旦大學自主招生錄取后，大學提供了3個專業(yè)由這3名學生選擇，每名學生只能選擇一個專業(yè)，假設(shè)每名學生選擇每個專業(yè)都是等可能的，則這3個專業(yè)中恰有一個專業(yè)沒有學生選擇的概率是
 
．

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同步練習冊答案