Question

已知f（x）=ln（x+1），g(x)=

1

2

ax2+bx
（1）若a=0，b=1時(shí)，求證：f（x）-g（x）≤0對(duì)于x∈（-1，+∞）恒成立；
（2）若b=2，且h（x）=f（x-1）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（3）利用（1）的結(jié)論證明：若0＜x＜y，則xlnx+ylny＞(x+y)ln

x+y

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）構(gòu)造函數(shù)C（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-x，利用導(dǎo)數(shù)求m（x）的最大值為φ（0）=0，即可得證；
（2）由h（x）=f（x-1）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間得h′（x）＜0有解，解不等式即得結(jié)論；
（3）利用（1）的結(jié)論ln（x+1）≤x，把式子作差得xlnx-ylny-（x+y）ln

x+y

2

=-xln（1+

y-x

2x

）-yln（1+

x-y

2y

）即由（1）知xlnx+ylny-(x+y)ln

x+y

2

≥-x•

y-x

2x

-y•

x-y

2y

=0，故命題得證．

解答： 解：（1）設(shè)m（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-x，
則ϕ′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

．….2分

x	（-1，0）	0	（0，+∞）
m′（x）	+	0	-
m（x）	↗	最大值	↘

∴當(dāng)x=0時(shí)，m（x）有最大值0，
∴m（x）≤0恒成立．
即f（x）-g（x）≤0對(duì)于x∈（-1，+∞）恒成立．….4分
（2）b=2時(shí)h(x)=lnx-

1

2

ax2-2x，h′(x)=

1

x

-ax-2，
∵h(yuǎn)（x）有單調(diào)遞減區(qū)間，∴h′（x）＜0有解，即

1-ax2-2x

x

＜0有解，
∵x＞0，∴ax²+2x-1＞0有解，….6分
①a≥0時(shí)合題意
②a＜0時(shí)，△=4+4a＞0，即a＞-1，
∴a的取值范圍是（-1，+∞）….8分
（3）證明：∵xlnx-ylny-（x+y）ln

x+y

2

=x（lnx-ln

x+y

2

）+y（lny-ln

x+y

2

）
=xln

2x

x+y

+yln

2y

x+y

=-xln

x+y

2x

-yln

x+y

2y

=-xln（1+

y-x

2x

）-yln（1+

x-y

2y

）
當(dāng)0＜x＜y時(shí)，

y-x

2x

＞-1，

x-y

2y

＞-1，由（1）知xlnx+ylny-(x+y)ln

x+y

2

≥-x•

y-x

2x

-y•

x-y

2y

=0
等號(hào)在

y-x

2x

=

x-y

2y

=0，即x=y時(shí)成立．
而y＞x＞0，
∴xlnx+ylny-(x+y)ln

x+y

2

＞0成立．….13分．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等知識(shí)及不等式恒成立問(wèn)題的證明，考查分類討論數(shù)學(xué)思想及轉(zhuǎn)化劃歸思想的運(yùn)用能力，屬難題．