Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

x+a

，若函數(shù)f（x）=2013^x的圖象上存在點（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，求a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由題意可得方程

y0+a

=y0有正實數(shù)根，即 y02-y₀-a=0有正實數(shù)根．再根據(jù)次方程的對稱軸為 y₀=

1

2

，可得△=1+4a≥0，由此解得a的范圍．

解答： 解：f（y₀）=y₀ 一定是f（f（y₀））=y₀ 的實數(shù)根，
由于函數(shù)f(x)=

x+a

在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，
函數(shù)f（x）=2013^x的圖象上存在點（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，
即方程

y0+a

=y0有正實數(shù)根，
即 y02-y₀-a=0有正實數(shù)根．
再根據(jù)次方程的對稱軸為 y₀=

1

2

，∴△=1+4a≥0，解得 a≥-

1

4

，
故答案為：[-

1

4

，+∞）．

點評：本題主要考查指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．