Question

如圖，△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，O是CD的中點(diǎn)，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2

3

．
（1）求證：MO∥面ABC；
（2）求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）通過證明AB∥MO，利用直線與平面平行的判定定理證明MO∥面ABC；
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，直線OC、BO、OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖．求出平面ACM的法向量為

n1

=(x，y，z)，結(jié)合平面BCD的法向量為

n

=(0，0，1)，即可求解平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值．

解答： 解：（1）∵△MCD為正三角形且O是CD的中點(diǎn)，∴MO⊥CD…（1分）
∵面MCD⊥面BCD；面MCD∩面BCD=CD，MO?面MCD…（2分）
∴MO⊥面BCD；…（3分）
又∵AB⊥面BCD；∴AB∥MO…（4分）
∵M(jìn)O?面ABC，AB?面ABC； …（5分）
∴MO∥面ABC…（6分）
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，直線OC、BO、OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖．…（7分）
OB=OM=

3

，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0，0），
C（1，0，0），M（0，0，

3

），B（0，-

3

，0），
A（0，-

3

，2

3

），…（8分）

CM

=(-1，0，

3

)，

CA

=(-1，-

3

，2

3

)．
設(shè)平面ACM的法向量為

n1

=(x，y，z)，
由

n1 • CM =0 n1 • CA =0

得

-x+ 3 z=0 -x- 3 y+2 3 z=0

．…（9分）
解得x=

3

z，y=z，取

n1

=(

3

，1，1)．…（10分）
又平面BCD的法向量為

n

=(0，0，1)，…（11分）
則cos＜

n1

，

n

＞=

n • n1

| n || n1 |

=

5

5

…（13分）
設(shè)所求二面角為θ，則sinθ=

1-( 5 5 )2

=

2 5

5

．…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查利用線面平行的判定定理證明線面平行，以及求二面角的平面角與線面角的有關(guān)知識，而空間角解決的關(guān)鍵是做角，由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出平面角來，是求角的關(guān)鍵，解決空間角也可以根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的有關(guān)知識解決空間角．