Question

設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且f（x）=f（

x

y

）+f（y），若f（3）=1，f（x）-f（

1

x-5

）≥2，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：注意到f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，故不等式可能應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求解，故先求2=f（9）；再化為函數(shù)的單調(diào)性求解．

解答： 解：∵f（x）=f（

x

y

）+f（y），
∴f（9）=f（

9

3

）+f（3）=1+1=2；
f（x）-f（

1

x-5

）=f（x（x-5））；
故f（x）-f（

1

x-5

）≥2可化為
f（x（x-5））≥f（9），
又∵f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
則

x(x-5)≥9 x＞0 x-5＞0

；
解得，x＞

5+ 61

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用及學(xué)生對(duì)新定義的接受與應(yīng)用能力，屬于中檔題．