Question

18．設x，y是正實數(shù)，記S為x，$y+\frac{1}{x}$，$\frac{1}{y}$中的最小值，則S的最大值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設a=x，b=$\frac{1}{y}$，c=y+$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$都大于0．不妨設a≤b．可得$\frac{1}$+$\frac{1}$-b≤c-a=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$-a≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{a}$-a．即$\frac{2-^{2}}$≤c-a≤$\frac{2-{a}^{2}}{a}$．對a與$\sqrt{2}$的大小分類討論即可得出最大值．

解答 解：設a=x，b=$\frac{1}{y}$，c=y+$\frac{1}{x}$=$\frac{1}$+$\frac{1}{a}$．都大于0．
不妨設a≤b．則$\frac{1}{a}$≥$\frac{1}$．
則$\frac{1}$+$\frac{1}$-b≤c-a=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$-a≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{a}$-a．
∴$\frac{2-^{2}}$≤c-a≤$\frac{2-{a}^{2}}{a}$，
①當a≥$\sqrt{2}$時，c≤a，此時c最��；
②當0＜a＜$\sqrt{2}$，c-a≥0，此時a最小，S≤$\sqrt{2}$．
綜上可得：S的最大值為：$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了不等式的性質、分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．