Question

6．已知函數(shù)f（x）=|x-2|，方程a[f（x）]²-f（x）+1=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 利用換元法，將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程，利用判別式和根與系數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)t=f（x），則當(dāng)t=0時(shí)，f（x）=0，只有一解，
當(dāng)t＞0時(shí)，f（x）=t，有兩個(gè)解，
則方程a[f（x）]²-f（x）+1=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解
等價(jià)為at²-t+1=0（a≠0）有兩個(gè)不同的正解，
即$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4a＞0}\\{{t}_{1}+{t}_{2}=\frac{1}{a}＞0}\\{{t}_{1}{t}_{2}=\frac{1}{a}＞0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜\frac{1}{4}}\\{a＞0}\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\frac{1}{4}$，
故答案為：（0，$\frac{1}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查根的存在性的應(yīng)用，利用換元法將方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．