Question

10．已知下列命題：①若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＜0，則$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$的夾角為鈍角；②a，b∈C，則“ab∈R”是“a，b互為共軛復(fù)數(shù)”的必要非充分條件；③一個(gè)骰子連續(xù)投2次，點(diǎn)數(shù)和為4的概率為$\frac{1}{9}$；④若n為正奇數(shù)，則6ⁿ+${C}_{n}^{1}{6}^{n-1}$+${C}_{n}^{2}{6}^{n-2}$+…+${C}_{n}^{n-1}6-1$被8除的余數(shù)是5，其中正確的序號(hào)是②④．

Answer 1

分析 ①由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＜0，可知$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$的夾角為鈍角或180°判斷；
②舉例說(shuō)明不充分，由$z•\overline{z}=|z{|}^{2}$說(shuō)明必要；
③是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的基本事件共6×6個(gè)，滿足條件的事件是點(diǎn)數(shù)和為4的可以列舉出有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3個(gè)，根據(jù)古典概型概率公式得到點(diǎn)數(shù)和為4的概率判斷；
④由二項(xiàng)式定理，可以將6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1變形為C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8+（-1）ⁿC_nⁿ-2，又由n為正奇數(shù)，則可得6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1=C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8-3，分析可得命題正確．

解答 解：①若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＜0，則$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$的夾角為鈍角或180°．故①錯(cuò)誤；
②a，b∈C，取a=1，b=2，滿足ab∈R，a，b不互為共軛復(fù)數(shù)，反之，若a，b互為共軛復(fù)數(shù)，則ab=|a|²∈R，
則“ab∈R”是“a，b互為共軛復(fù)數(shù)”的必要非充分條件．故②正確；
③試驗(yàn)發(fā)生包含的基本事件共6×6=36個(gè)，滿足條件的事件是點(diǎn)數(shù)和為4，列舉出有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3個(gè)，
∴一個(gè)骰子連續(xù)投2次，點(diǎn)數(shù)和為4的概率為$\frac{1}{12}$．故③錯(cuò)誤；
④6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1
=6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6+C_nⁿ-2
=（6+1）ⁿ-2=7ⁿ-2=（8-1）ⁿ-2
=C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8+（-1）ⁿC_nⁿ-2，
又由n為正奇數(shù)，則6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1=C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8-3，
且C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8可以被8整除，
∴6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1被8除所得的余數(shù)是5．故④正確．
∴正確命題的序號(hào)是②④．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，訓(xùn)練了古典概型概率的求法，訓(xùn)練了利用二項(xiàng)式定理判斷整除問(wèn)題，是中檔題．